อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่ดีที่สุดใกล้กับตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า การหาอนุพันธ์ (differentiation หรือ การดิฟเฟอเรนชิเอต) ส่วนกระบวนการที่กลับกันเรียกว่า การหาปฏิยานุพันธ์ (antidifferentiation) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่าการหาปฏิยานุพันธ์เหมือนกันกับการหาปริพันธ์(integration หรือ การอินทิเกรต) การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นตัวดำเนินการพื้นฐานในแคลคูลัสตัวแปรเดียว

บทนิยาม 

          ถ้า y = f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ 

หาค่าได้แล้ว เรียกค่าลิมิตที่ได้นี้ว่า “อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ” เขียนแทนด้วย f '(x)

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x เช่น 

สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ของ y = f(x) (เทียบกับ x) ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว

กฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน[แก้]

• การหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง: ถ้า

${\displaystyle f(x)=x^{r}}$

เมื่อ r เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}}$

เมื่อไรก็ตามที่ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า ${\displaystyle f(x)=x^{1/4}}$ แล้ว

${\displaystyle f'(x)=(1/4)x^{-3/4}}$

และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า x ที่เป็นบวก ไม่ใช่ x = 0 เมื่อ r = 0 กฎนี้จะให้ค่า f′(x) เป็นศูนย์สำหรับ x ≠ 0 ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่

• กฎค่าคงที่: ถ้า f(x) คือค่าคงที่ แล้ว

${\displaystyle f'=0}$

• ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc(x)=-\csc x\cot x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec x\tan x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=-\csc ^{2}x}$

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

กฎสำหรับฟังก์ชันหลายฟังก์ชันรวมกัน[แก้]

ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้

• กฎผลรวม:

${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,}$ สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g และจำนวนจริงทั้งหมด ${\displaystyle \alpha }$ และ ${\displaystyle \beta }$

• กฎผลคูณ:

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$ สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ในกรณีพิเศษ กฎนี้รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า ${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$ เมื่อไรก็ตามที่ ${\displaystyle \alpha }$ เป็นค่าคงที่ เพราะว่า ${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$ จากกฎค่าคงที่

• กฎผลหาร:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ของตัวแปรต้นทั้งหมดโดยที่ g ≠ 0.

• กฎลูกโซ่: ถ้า ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ แล้ว

${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)\,}$

ตัวอย่างการคำนวณ[แก้]

อนุพันธ์ของ

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}$

คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}\end{aligned}}}$

ข้อสังเกต ถ้า y=f(x)+g(x)−h(x) เมื่อ f′(x),g′(x) และ h′(x) หาค่าได้ แล้ว y′=f′(x)+g′(x)−h′(x) นอกจากนี้ยังสามารถขยายจำนวนฟังก์ชันที่นำมาบวกหรือลบกันเป็นกี่ฟังก์ชันก็ได้

อ้างอิง

https://www.youtube.com/watch?v=nzKclNabPFs

https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C

https://www.opendurian.com/learn/derivative_fomula/